Теорема Гёделя. И её поэтическое преодоление

Дизайнер обложки Анна Мария Батожок

Иллюстрации Анна Мария Батожок

Рецензент Борис Григорин

Одноклассник Михаил Строганов

Логик Александр Шум

почта: [email protected]; [email protected]

© Александр Батожок, 2024

© Анна Мария Батожок, дизайн обложки, 2024

ISBN 978-5-0062-4983-7

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Курт Гёдель и Альберт Эйнштейн

Среди ученых, находившихся под влиянием Курта Гёделя1, был его друг Альберт Эйнштейн. С 1940 по 1955 они были коллегами в институте прикладных исследований в Принстоне. Основатель теории игр Оскар Моргенштерн свидетельствует, что когда Эйнштейн потерял энтузиазм к своей собственной работе, он приходил на работу для того, чтобы «иметь привилегию идти домой вместе с Куртом Гёделем». Один из ассистентов Эйнштейна в Принстоне вспоминал: «Единственным человеком, который был в течение последних лет лучшим другом Эйнштейна, и в некотором смысле странным образом похожим на него, был Курт Гёдель, величайший логик.

Курт Гёдель, доказавший в 1930 году Теорему о неполноте

Они были весьма различны почти во всем – Эйнштейн общительный, счастливый, улыбчивый и здравомыслящий, а Гёдель предельно важный, очень серьезный, совершенно одинокий и недоверчивый к здравому смыслу как средству достижения истины. Но они имели общее качество: оба шли прямо и искренне к вопросам, лежащим в самом центре вещей».

Александр Шум «О Теореме о неполноте»

(предисловие к первому изданию)

Человек хочет знать и уметь как можно больше, чтобы быть как можно более свободным. Природа выставляет ему границы, но человек, несмотря ни на что, ищет и находит возможности эти границы преодолевать. Громадные просторы океанов не остановили человека в стремлении достичь дальних земель. Притяжение Земли не остановило его в стремлении летать. Бездна холодного космоса не остановила человека в стремлении побывать на других планетах. Есть, однако, такие границы, которые не только ещё не преодолены сегодня, но кажутся непреодолимыми вообще. Такова, например, граница увеличения скорости – невозможно двигаться со скоростью большей скорости света. Такое ограничение устанавливает теория относительности Эйнштейна. Это обстоятельство, так же как и имя Альберта Эйнштейна, сегодня известно каждому грамотному читателю. Между тем, столь же важное другое принципиальное ограничение и имя открывшего его учёного имеют незаслуженно меньшую известность. В 1930 году Курт Гёдель доказал теорему, сегодня известную как Теорема о неполноте, которая навсегда изменила понимание математики. Эта теорема утверждает, что в любой формальной системе, содержащей арифметику, найдётся истинное, но недоказуемое предложение. Это означает, что формализовать математику в целом так, чтобы все её верные теоремы имели формальные доказательства, невозможно.

Как преодолеть ту границу, преодолеть которую невозможно?

В 1900 году на Втором Международном математическом конгрессе Давид Гильберт2 формулирует знаменитый список 23 нерешённых проблем, а несколько позже предлагает программу аксиоматического обоснования математики. Программа Гильберта предусматривала обоснование всей математики путём её полной формализации. В попытках выполнить эту программу и была найдена Гёделем Теорема о неполноте – теорема, которая показала, что программа Гильберта невыполнима. Этот результат обескуражил, но не отменил энтузиазма математиков, которые равнялись на девиз Гильберта: «Мы должны знать – мы будем знать!» Список 23 проблем Гильберта на протяжении XX века служил направляющим указателем приложения их усилий. Не всегда эти проблемы имели такое решение, о котором думал сам Гильберт. Так, например, десятая проблема Гильберта требовала найти алгоритм, определяющий, имеет ли произвольно взятое диофантово уравнение решение в целых числах. Решение этой проблемы, найденное в 1970 году Юрием Матиясевичем, оказалось следующим: такого алгоритма не существует. Отметим здесь, что автор этого предисловия, так же как и автор стихов данного сборника, являются выпускниками той же школы, которую заканчивал Юрий Матиясевич (это физико-математическая школа-интернат №183 при МГУ, которая ныне носит имя Андрея Николаевича Колмогорова).

Теорема Гёделя о неполноте отчётливо указала на то, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать её, и интуицию нельзя исключать из пределов царства математики.

При всём этом философское значение теоремы о неполноте и второй теоремы Гёделя, устанавливающей невозможность доказать непротиворечивость теории средствами самой этой теории, выходит далеко за рамки чистой математики. Согласно позитивистской философии науки любая физическая теория является математической моделью, а это значит, что она с необходимостью должна быть представлена на языке математики. Мы и наши модели являемся частью вселенной, которую описываем, и в своих описаниях мы также не сможем выбраться за те границы, которые устанавливают теоремы Гёделя.

И всё-таки, как преодолеть ту границу, преодолеть которую невозможно? Читатель может попробовать увидеть перспективы поиска ответа на этот вопрос в новом сборнике стихов Александра Батожка, который составили стихотворения, написанные в течение последних двух лет.

Отметим, что «Перспективы преодоления Теоремы Гёделя» это седьмая книга поэта, выпущенная издательством «Волшебная лампа»4. Некоторые стихотворения из неё были ранее напечатаны в книге Анны Марии «ФИЛО-СОФИЯ в графике и цвете»5, выпущенной в 2017 году изд. «Издательские решения».

© Александр Шум, математик-логик,

доцент кафедры высшей математики

Тверского технического университета.

март 2018, Тверь

Михаил Строганов «Математика – это поэзия»

Мой школьный приятель Александр Батожок (мы учились в одном классе в городе, который назывался Калинином, пока он не перешел в математическую школу при МГУ) периодически исчезает и потом снова (периодически) появляется в моей жизни, наверное, для того, чтобы напомнить мне, человеку, который профессионально занимается литературой, что и сейчас еще можно видеть мир и человека по-новому и облекать это свое видение в необычные слова и образы.

Мы расстались с ним в тот момент, когда на мою долю остались школьные представления о понятности и прозрачности царства натуральных чисел (школьная такая арифметика), а ему стало открываться знание о невозможности доказать или опровергнуть непротиворечивость арифметики с помощью простых (сводимых к конечным, финитным понятиям) средств. Наши школьные годы прошли под споры о «физиках» и «лириках», а потом оказалось, что «физик» Батожок очень даже «лирик».

С возрастом ощущение новизны утрачивается. Всё уже было, всё проходит, и поэтому – зачем? Батожок врывается в мою жизнь, отвлекает меня от моей срочной литературной работы, нарушает привычный, устоявшийся ритм – для того, чтобы я читал это и удивлялся:

Я никогда не думал, что Саша – поэт. И узнал об этом в общем-то поздно. И мне, насколько я понимаю задним числом, было трудно смириться с тем, что он поэт. Но я не могу, не имею права не признать того, что поэзия в нем и в его сочинениях днюет и ночует, даже если в каких-то строчках я вижу погрешности против построения, против смысла. Бог с ними, с ошибками. Он упрямый и не юный. И учить его – только портить. Да и почему я должен его учить? Он хорош такой, какой есть.

Не филолог, Батожок не читал Бахтина6. Но он изучал Гёделя. И относительность любого человеческого знания – любимая мысль современного человечества – организует его стихи. И хорошо, что он читал не Бахтина, а Гёделя. Поэтов, которые знают Бахтина, – много. Поэтов, которые видят относительность нашего знания о мире через Гёделя, может быть, вообще нет. Я бы не стал так длинно называть стихотворную книжку, но и это его дело. Если, в конце концов, он умеет увидеть мир по-своему и написать мне об этом, – значит, он имеет право называть свою книгу так, как хочет. А вдруг в этом что-то есть?

Я не буду сейчас перечислять все наиболее яркие примеры из этой книги, где Батожок выстраивает свой мир. Это дело стороннего наблюдателя, а я всё-таки заинтересованное лицо. Я просто приведу всего лишь два примера из его стихов, в которых я вижу не только его, но и свой собственный мир. И думаю, что это мир и многих других современных людей:

Мы виноваты тем, что родились невинны,

И пятимся вперед, а наступаем вспять.

На излучине стою,

В чем-то с ней согласен.

Жизнь ужасна, но смотрю:

Сверху вид прекрасен.

И именно потому, что я считаю, что этот мир не выдумка одного Батожка, а наш общий мир, я и называю его поэтом.

© Михаил Строганов, доктор филологических наук,

ведущий научный сотрудник в ИМЛИ РАН.

Член Пушкинской комиссии РАН.

29 февраля 2024, г. Тверь

ТЕКСТЫ, ПИСЬМА, ОСТРОВКИ

«Есть право на усталость…»

• Есть право на усталость,
• Есть право на покой,
• Есть право не разгадывать
• Загадки никакой.
• И даже мира здания
• Загадки отложить:
• Нас ждут трава, купания —
• Обязанности жить…

Где берег мой…

• На сутки после Рождества,
• По памяти, по старым океанам,
• Иду без карт и капитана,
• И в штиль стою, бросая паруса,
• И в бурю, стаксель ставя,
• Волну целую в пенные уста,
• Молитву кроткую беззвучно повторяя:

• «Где берег мой,
• Где берег мой, где берег мой?»
• Где берег мой – там скалы под водой,
• Там скалы под водой, там скалы под водой!
• Не пустят в бухту, где всегда покой,
• А в борт ударят каменной рукой.

Лента Мёбиуса

• На стороне одной,
• Но с двух сторон, иду
• И антиподом сам себе являюсь.
• С границею одной на замкнутом кругу
• Бегу вперед, но просто повторяюсь.
• И кажется всё ново в каждый раз,
• И мы находим в прелести движения
• И истины былой обворожение,
• И в прошлом назидательный наказ.
• На стороне одной,
• Но сам себе не верю,
• Ищу тупик на плоскости кривой
• И замкнутой,
• Ищу калитку, двери,
• Но открываю только пустоту.
• Здесь нет замков и пут,
• В свободном мы плену.7