Теорема Гёделя. И её поэтическое преодоление

Размер шрифта:   13
Теорема Гёделя. И её поэтическое преодоление

Дизайнер обложки Анна Мария Батожок

Иллюстрации Анна Мария Батожок

Рецензент Борис Григорин

Одноклассник Михаил Строганов

Логик Александр Шум

почта: [email protected]; [email protected]

© Александр Батожок, 2024

© Анна Мария Батожок, дизайн обложки, 2024

ISBN 978-5-0062-4983-7

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Курт Гёдель и Альберт Эйнштейн

Среди ученых, находившихся под влиянием Курта Гёделя1, был его друг Альберт Эйнштейн. С 1940 по 1955 они были коллегами в институте прикладных исследований в Принстоне. Основатель теории игр Оскар Моргенштерн свидетельствует, что когда Эйнштейн потерял энтузиазм к своей собственной работе, он приходил на работу для того, чтобы «иметь привилегию идти домой вместе с Куртом Гёделем». Один из ассистентов Эйнштейна в Принстоне вспоминал: «Единственным человеком, который был в течение последних лет лучшим другом Эйнштейна, и в некотором смысле странным образом похожим на него, был Курт Гёдель, величайший логик.

Рис.0 Теорема Гёделя. И её поэтическое преодоление

Курт Гёдель, доказавший в 1930 году Теорему о неполноте

Они были весьма различны почти во всем – Эйнштейн общительный, счастливый, улыбчивый и здравомыслящий, а Гёдель предельно важный, очень серьезный, совершенно одинокий и недоверчивый к здравому смыслу как средству достижения истины. Но они имели общее качество: оба шли прямо и искренне к вопросам, лежащим в самом центре вещей».

Рис.1 Теорема Гёделя. И её поэтическое преодоление

Александр Шум «О Теореме о неполноте»

(предисловие к первому изданию)

Человек хочет знать и уметь как можно больше, чтобы быть как можно более свободным. Природа выставляет ему границы, но человек, несмотря ни на что, ищет и находит возможности эти границы преодолевать. Громадные просторы океанов не остановили человека в стремлении достичь дальних земель. Притяжение Земли не остановило его в стремлении летать. Бездна холодного космоса не остановила человека в стремлении побывать на других планетах. Есть, однако, такие границы, которые не только ещё не преодолены сегодня, но кажутся непреодолимыми вообще. Такова, например, граница увеличения скорости – невозможно двигаться со скоростью большей скорости света. Такое ограничение устанавливает теория относительности Эйнштейна. Это обстоятельство, так же как и имя Альберта Эйнштейна, сегодня известно каждому грамотному читателю. Между тем, столь же важное другое принципиальное ограничение и имя открывшего его учёного имеют незаслуженно меньшую известность. В 1930 году Курт Гёдель доказал теорему, сегодня известную как Теорема о неполноте, которая навсегда изменила понимание математики. Эта теорема утверждает, что в любой формальной системе, содержащей арифметику, найдётся истинное, но недоказуемое предложение. Это означает, что формализовать математику в целом так, чтобы все её верные теоремы имели формальные доказательства, невозможно.

Как преодолеть ту границу, преодолеть которую невозможно?

В 1900 году на Втором Международном математическом конгрессе Давид Гильберт2 формулирует знаменитый список 23 нерешённых проблем, а несколько позже предлагает программу аксиоматического обоснования математики. Программа Гильберта предусматривала обоснование всей математики путём её полной формализации. В попытках выполнить эту программу и была найдена Гёделем Теорема о неполноте – теорема, которая показала, что программа Гильберта невыполнима. Этот результат обескуражил, но не отменил энтузиазма математиков, которые равнялись на девиз Гильберта: «Мы должны знать – мы будем знать!» Список 23 проблем Гильберта на протяжении XX века служил направляющим указателем приложения их усилий. Не всегда эти проблемы имели такое решение, о котором думал сам Гильберт. Так, например, десятая проблема Гильберта требовала найти алгоритм, определяющий, имеет ли произвольно взятое диофантово уравнение решение в целых числах. Решение этой проблемы, найденное в 1970 году Юрием Матиясевичем, оказалось следующим: такого алгоритма не существует. Отметим здесь, что автор этого предисловия, так же как и автор стихов данного сборника, являются выпускниками той же школы, которую заканчивал Юрий Матиясевич (это физико-математическая школа-интернат №183 при МГУ, которая ныне носит имя Андрея Николаевича Колмогорова).

Теорема Гёделя о неполноте отчётливо указала на то, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать её, и интуицию нельзя исключать из пределов царства математики.

При всём этом философское значение теоремы о неполноте и второй теоремы Гёделя, устанавливающей невозможность доказать непротиворечивость теории средствами самой этой теории, выходит далеко за рамки чистой математики. Согласно позитивистской философии науки любая физическая теория является математической моделью, а это значит, что она с необходимостью должна быть представлена на языке математики. Мы и наши модели являемся частью вселенной, которую описываем, и в своих описаниях мы также не сможем выбраться за те границы, которые устанавливают теоремы Гёделя.

И всё-таки, как преодолеть ту границу, преодолеть которую невозможно? Читатель может попробовать увидеть перспективы поиска ответа на этот вопрос в новом сборнике стихов Александра Батожка, который составили стихотворения, написанные в течение последних двух лет.

Отметим, что «Перспективы преодоления Теоремы Гёделя» это седьмая книга поэта, выпущенная издательством «Волшебная лампа»4. Некоторые стихотворения из неё были ранее напечатаны в книге Анны Марии «ФИЛО-СОФИЯ в графике и цвете»5, выпущенной в 2017 году изд. «Издательские решения».

© Александр Шум, математик-логик,

доцент кафедры высшей математики

Тверского технического университета.

март 2018, Тверь

Михаил Строганов «Математика – это поэзия»

Мой школьный приятель Александр Батожок (мы учились в одном классе в городе, который назывался Калинином, пока он не перешел в математическую школу при МГУ) периодически исчезает и потом снова (периодически) появляется в моей жизни, наверное, для того, чтобы напомнить мне, человеку, который профессионально занимается литературой, что и сейчас еще можно видеть мир и человека по-новому и облекать это свое видение в необычные слова и образы.

Мы расстались с ним в тот момент, когда на мою долю остались школьные представления о понятности и прозрачности царства натуральных чисел (школьная такая арифметика), а ему стало открываться знание о невозможности доказать или опровергнуть непротиворечивость арифметики с помощью простых (сводимых к конечным, финитным понятиям) средств. Наши школьные годы прошли под споры о «физиках» и «лириках», а потом оказалось, что «физик» Батожок очень даже «лирик».

С возрастом ощущение новизны утрачивается. Всё уже было, всё проходит, и поэтому – зачем? Батожок врывается в мою жизнь, отвлекает меня от моей срочной литературной работы, нарушает привычный, устоявшийся ритм – для того, чтобы я читал это и удивлялся:

  • Есть право на усталость,
  • Есть право на покой,
  • Есть право не разгадывать
  • Загадки никакой…

Я никогда не думал, что Саша – поэт. И узнал об этом в общем-то поздно. И мне, насколько я понимаю задним числом, было трудно смириться с тем, что он поэт. Но я не могу, не имею права не признать того, что поэзия в нем и в его сочинениях днюет и ночует, даже если в каких-то строчках я вижу погрешности против построения, против смысла. Бог с ними, с ошибками. Он упрямый и не юный. И учить его – только портить. Да и почему я должен его учить? Он хорош такой, какой есть.

Не филолог, Батожок не читал Бахтина6. Но он изучал Гёделя. И относительность любого человеческого знания – любимая мысль современного человечества – организует его стихи. И хорошо, что он читал не Бахтина, а Гёделя. Поэтов, которые знают Бахтина, – много. Поэтов, которые видят относительность нашего знания о мире через Гёделя, может быть, вообще нет. Я бы не стал так длинно называть стихотворную книжку, но и это его дело. Если, в конце концов, он умеет увидеть мир по-своему и написать мне об этом, – значит, он имеет право называть свою книгу так, как хочет. А вдруг в этом что-то есть?

Я не буду сейчас перечислять все наиболее яркие примеры из этой книги, где Батожок выстраивает свой мир. Это дело стороннего наблюдателя, а я всё-таки заинтересованное лицо. Я просто приведу всего лишь два примера из его стихов, в которых я вижу не только его, но и свой собственный мир. И думаю, что это мир и многих других современных людей:

Мы виноваты тем, что родились невинны,

И пятимся вперед, а наступаем вспять.

На излучине стою,

В чем-то с ней согласен.

Жизнь ужасна, но смотрю:

Сверху вид прекрасен.

И именно потому, что я считаю, что этот мир не выдумка одного Батожка, а наш общий мир, я и называю его поэтом.

© Михаил Строганов, доктор филологических наук,

ведущий научный сотрудник в ИМЛИ РАН.

Член Пушкинской комиссии РАН.

29 февраля 2024, г. Тверь

ТЕКСТЫ, ПИСЬМА, ОСТРОВКИ

«Подари мне цветок…»

  • Подари мне цветок,
  • Но оставь —
  • Обожженный асфальт
  • От следов твоих ног,
  • Чтобы плавил он снег в январе
  • И я смог
  • Отыскать по следам:
  • И твой дом, и порог.

«Есть право на усталость…»

  • Есть право на усталость,
  • Есть право на покой,
  • Есть право не разгадывать
  • Загадки никакой.
  • И даже мира здания
  • Загадки отложить:
  • Нас ждут трава, купания —
  • Обязанности жить…
Рис.2 Теорема Гёделя. И её поэтическое преодоление

Интеграл

  • По старым строчкам, по брусчатке
  • Бреду на прошлое с оглядкой.
  • Аптека, улица, канал —
  • Стоит и дышит интеграл,
  • Двойной, среди оград и нот
  • Считает дней теченье, вод
  • По переменным от нуля
  • До стужи с ветром февраля.
  • И жаль, и грустно, но душе
  • С собой не взять его уже.
  • И остается все, как встарь:
  • Аптека, улица, фонарь…

«Годы тянулись, тащились, бежали…»

  • Годы тянулись, тащились, бежали…
  • Не повернуть их течение вспять,
  • Просто прошу, чтоб они постояли,
  • Чтобы успеть мне шнурки завязать.

Где берег мой…

  • На сутки после Рождества,
  • По памяти, по старым океанам,
  • Иду без карт и капитана,
  • И в штиль стою, бросая паруса,
  • И в бурю, стаксель ставя,
  • Волну целую в пенные уста,
  • Молитву кроткую беззвучно повторяя:
  • «Где берег мой,
  • Где берег мой, где берег мой?»
  • Где берег мой – там скалы под водой,
  • Там скалы под водой, там скалы под водой!
  • Не пустят в бухту, где всегда покой,
  • А в борт ударят каменной рукой.
Рис.3 Теорема Гёделя. И её поэтическое преодоление

Трамвай переехал

Однажды,

Каждого давит Трамвай,

А кого-то и дважды.

  • Трамвай переехал…
  • Так бывает,
  • Переехал там, где ни рельс, ни трамваев,
  • Переехал спокойно, почти осторожно.
  • Разве это не больно, разве это возможно…
  • Да нет, понятно, совсем невозможно,
  • Разве случайно, чуть-чуть, осторожно,
  • Самую малость, по самому краю,
  • Можно, конечно, проехать трамваю.
  • И кого давят, неполная часть,
  • Едет в трамвае с судьбою смирясь.
  • Смотрит по ходу прямо в окошко,
  • Стоп, раздавили кого-то немножко.
  • Двери открылись, еще половинка,
  • С нею знакома вон та четвертинка.

Ты говоришь: мне не пиши теперь…

  • Ты говоришь: захлопнута,
  • закрыта дверь.
  • Ты говоришь:
  • мне не пиши теперь,
  • мне не пиши,
  • мне не пиши теперь,
  • мне не пиши, услышь меня, поверь.
  • Я говорю:
  • мне не пиши теперь,
  • тебя молю, мне не пиши теперь,
  • мне не пиши ни ночью, ни в тиши,
  • ты только не пиши,
  • мне больше не пиши,
  • мне не пиши сегодня и вчера,
  • ты не пиши мне больше никогда,
  • и завтра тоже, тоже не пиши,
  • ты соберись и не пиши,
  • и не пиши,
  • ни телеграмм не шли,
  • ни писем мне не шли,
  • в них не пиши ни запятой, ни строчки,
  • не ставь в них даже точки,
  • оставь меня, оставь,
  • оставь меня и больше не пиши
  • и не звони,
  • и я звонить не буду,
  • и уходи,
  • да, уходи,
  • тебя я не забуду,
  • но никогда, но никогда не догоню,
  • не догоню,
  • но рядом
  • буду.

На памяти белым бело…

  • На памяти белым бело,
  • Как на листе пустом,
  • Всё замерло и замело
  • Тропинку в старый дом.
  • И снег идет из темноты
  • Без неба, облаков,
  • И нет тебя, и нет мечты,
  • Не вижу твоих снов.
  • На памяти белым бело,
  • Где кисть, где краски взять,
  • Чтобы всё то, что замело,
  • Расчистить, откопать.
  • Чтобы дорожкою пройти
  • К крыльцу в усталый дом,
  • И ключ под ковриком найти,
  • И вспомнить о былом.
  • На памяти белым бело,
  • Но, стуже вопреки,
  • Ищу дорогу в этот дом,
  • Где тлеют угольки.
  • Иду с вязанкой звонких дров
  • В надежде растопить
  • Там лед на окнах, и потом
  • Готов любить, любить.
  • На памяти белым бело,
  • На памяти давно темно,
  • На памяти одно окно,
  • На памяти, на памяти,
  • На памяти оно.

Лента Мёбиуса

  • На стороне одной,
  • Но с двух сторон, иду
  • И антиподом сам себе являюсь.
  • С границею одной на замкнутом кругу
  • Бегу вперед, но просто повторяюсь.
  • И кажется всё ново в каждый раз,
  • И мы находим в прелести движения
  • И истины былой обворожение,
  • И в прошлом назидательный наказ.
  • На стороне одной,
  • Но сам себе не верю,
  • Ищу тупик на плоскости кривой
  • И замкнутой,
  • Ищу калитку, двери,
  • Но открываю только пустоту.
  • Здесь нет замков и пут,
  • В свободном мы плену.7
Рис.4 Теорема Гёделя. И её поэтическое преодоление

89 год

  • Любимая, пришли мне пистолет,
  • Не бойся, что я выдумал стреляться,
  • Но от тебя так долго писем нет,
  • Что не могу ни жить я, ни расстаться.
  • Любимая, пришли мне пистолет
  • И не жалей,
  • Патронов сыпь в достатке,
  • В ладонях подержи, слегка нагрей
  • И поцелуй, чтоб пули стали сладки.
  • Признает тело губ твой аромат,
  • Когда свинец ворвется с острой болью
  • И разум будет остановке сердца рад,
  • Чтобы покончить в нем к тебе любовью.
  • Любимая, пришли мне пистолет,
  • Буду хранить его и трепетно, и страстно.
  • И ничего, что писем больше нет,
  • Но сталь его, как смерть, как ты, прекрасна.
  • Его хранить я буду у виска,
  • Под той подушкой, помнишь, с монограммой,
  • И жизнь продолжу с чистого листа,
  • Сжимая рукоять, разыгрывая гаммы.
  • Любимая, пришли мне пистолет,
  • Не бойся, смерть он лишь отсрочит,
  • Но если станет ясно – жизни нет,
  • То день последний станет чуть короче.
  • Любимая, пришли мне пистолет,
  • Сгораю без тебя в пустой постели,
  • Ты говорила – на четверг билет,
  • Сегодня пятница, конец, конец недели!

Убей меня, убей!

  • Я не живой,
  • Я не живой к тебе!
  • Убей меня, убей!
  • Убей меня в себе!
  • Нет не сейчас, не завтра, а вчера.
  • Убей тогда, чтоб не было сегодня,
  • Убей меня, чтоб спала пелена,
  • Чтобы свободна ты была и вольна.
  • Убей меня!
  • Убей меня в себе!
  • Освободи от этой вечной муки,
  • Нам не ходить с тобою по воде
  • И не держать крестом от счастья руки.
  • Убей!
  • Убей хотя бы раз,
  • Чтоб не дрожать от каждого намека,
  • Не отводи от сердца серых глаз,
  • Убей беззвучно, быстро и жестоко.
  • Убей меня!
  • И больше не проси:
  • Пощады, ласки – мертвый неподкупен.
  • Убей меня, дни, ночи все сожги,
  • Лишь первый сохрани: он неподсуден.
  • Убей меня!
  • Прошу тебя, убей…
  • Не оставляй, мне не нужна свобода.
  • Кинжала нет? Так яду мне налей!
  • Убей меня и будь ко мне добрей…
  • Убей меня скорей.

«Когда нам слышен голос прошлых зим…»

  • Когда нам слышен голос прошлых зим,
  • Мы собираем хворост возле дома,
  • И снег идет, ему навстречу дым,
  • И кот сидит у белого порога.
  • Когда нам дышат ароматом верб,
  • Те дни, что догоняли мы с ручьями,
  • Бросали щепки в них, а старый человек
  • Грозил клюкой, чтоб в воду не упали.
  • Когда нам виден от вселенной свет
  • От бликов ночи в луже у сарая
  • И страх проспать обещанный рассвет
  • Сбивает сон, а рядом двери рая.
  • Когда нам вальса громче звуки
  • И тени длинные от ног,
  • Мы помним вечер, помним руки,
  • Поклон, полет, мечта, восторг.
  • Тогда нам дорог памяти глоток,
  • Бокалы с ним уже давно готовы,
  • Мы пьем, чтобы пройти еще урок
  • И сбросить обретенные оковы.

«Мы живем на двух планетах…»

  • Мы живем на двух планетах,
  • Одна с солнцем, одна без,
  • На одной и в холод лето,
  • На другой в жару мороз.
  • Всё зависит от природы,
  • От источников души,
  • В них секреты непогоды
  • И курорт в любой глуши.
  • Как поет, так солнце светит,
  • Загрустит, и снег идет.
  • На какой, мой друг, планете
  • Встреча нас с тобою ждет?
  • Мы скафандры лет одели,
  • В старых книгах кислород,
  • Встали дружно, полетели —
  • Я назад, а ты вперед.
  • Так бывает, но по кругу,
  • Мы летим опять друг к другу.
  • Надо только рядом сесть,
  • На земле, где солнце есть.

«Я нашел комочек счастья…»

  • Я нашел комочек счастья,
  • Не нарочно, просто так.
  • Оно словно одуванчик
  • На моих лежит руках.
  • Ветер дунул и унес.
  • Счастье, где ты?
  • С кем всерьез?

И Магелланы будущей недели

  • Вот убежали все слова,
  • Растаяли… На Небе
  • От них остались Облака,
  • А на Земле Метели.
  • Я помню, помню
  • Каждый миг:
  • Не передать восторгов встречи,
  • Души больной беззвучный крик
  • И глубины прощаний в вечер.
  • Но остаются на песке
  • Не смытые волною тени,
  • Живем мы в радости, в тоске:
  • Дней прошлых пасынки
  • И Магелланы будущей недели.

«Ты улетела в прошлые года…»

  • Ты улетела в прошлые года…
  • Бывает так?
  • Конечно – да!
  • Я сам живу здесь много лет.
  • Так заходи —
  • Привет тебе,
  • Привет!

«Не забывай меня…»

  • Не забывай меня.
  • Ты помнишь,
  • Ты помнишь: ставень стук осенний
1 – Курт Гёдель (1906—1978). Австрийский (чешский) логик, математик и философ математики. Известен сформулированной и доказанной им теоремой о неполноте, которая оказала огромное влияние на представление об основаниях математики. Выдающийся мыслитель XX века.
2 – Давид Гильберт (1862—1943) – немецкий математик-универсал, разработал широкий спектр фундаментальных идей во многих областях математики. В первой четверти ХХ века был мировым лидером математиков.
3 – ФМШ №18 при МГУ – основан в 1963 году Постановлением совета министров СССР (ныне Специализированный учебно-научный центр МГУ или СУНЦ).
4  «Волшебная лампа» – абсолютно некоммерческое, а скорее домашнее издательство Александра Шума, в котором он всё делает сам, от выбора материала до подготовки его к печати. Всего издано на 2024 год около пятидесяти брошюр и книг тиражом от 3 до 100 экземпляров. Авторами являются люди из его круга и распространяются книги бесплатно там же.
5 – философия в графике и цвете смотрите и улыбайтесь, сайт книги: https:: //ridero.ru/books/superpoziciya/filosofiya/
6  М. М. Бахтин (1895—1975) – не читал, но: для меня текст первичен, он основа всего. А что у Бахтина? Тоже самое: «…человек всегда выражает себя, то есть создает текст».
7 – Лента Мёбиуса – трехмерная фигура с одной границей и стороной. Известна с древности, но открыта для науки только в 1858 г. независимо Мёбиусом и Листингом.
Продолжить чтение