Операции над матрицами средствами MS Excel

Размер шрифта: 13

ISBN 978-5-0064-6046-1

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Этой книгой я продолжаю курс практических занятий по Линейной алгебре, которые я проводил со студентами университета культуры и искусств в городе Санкт – Петербурге. но уже с широким применением приложения MS Ofice Excel.

1.Определители матрицы

1.1.Определители 2-го порядка

Пусть дана квадратная таблица из следующих чисел:

Рис.0 Операции над матрицами средствами MS Excel

Матрица A

Число A = а₁₁∙а₂₂– а₁₂∙а₂₁называется определителем 2-го порядка и соответствует приведенной выше матрице Этот определитель обозначается символом det A и вычисляется по следующему правилу:

Рис.1 Операции над матрицами средствами MS Excel

Правило вычисления определителя второго порядка.

Числа а₁₁,а_22, а₁₂,а₂₁являются элементами определителя. Говорят, что элементы а₁₁,а₂₂лежат на главной диагонали определителя, а а₁₂,а₂₁– на побочной.

Таким образом определитель 2-го порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях.

1.2.Определители 3-го порядка

Рассмотрим таблицу из 9-ти элементов:

Рис.2 Операции над матрицами средствами MS Excel

Определитель 3-го порядка.

Определителем 3-го порядка, соответствующим зтой таблице, называется число, равное:

а₁₁∙а₂₂∙а₃₃+ а₂₁∙а₂₃∙а₃₁+ а₂₁∙а₃₂∙а₁₃– а₁₃∙а₂₂∙а₃₁– а₁₁∙а₃₂∙а₂₃– а₂₁∙а₁₂∙а₃₃

Этот определитель обозначается символом det:

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольника (правилом Саррюса):

1.3.Свойства определителей

1) Равноправность строк и столбцов: определитель не изменится, если его строки заменить столбцами или наоборот.

Рис.3 Операции над матрицами средствами MS Excel

Первое свойство определителя (2-го порядка).

Рис.4 Операции над матрицами средствами MS Excel

Первое свойство определителя (3-го порядка).

2) При перестановке двух параллельных рядов, определитель меняет знак.

Рис.5 Операции над матрицами средствами MS Excel

Второе свойство определителя (3-го порядка).

3) Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен 0

Рис.6 Операции над матрицами средствами MS Excel

Третье свойство определителя (3-го порядка).

4) Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя.

Рис.7 Операции над матрицами средствами MS Excel

Четвертое свойство определителя (3-го порядка).

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен 0

Рис.8 Операции над матрицами средствами MS Excel

Следствие из свойств 3 и 4.

5) Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Рис.9 Операции над матрицами средствами MS Excel

Пятое свойство определителя (3-го порядка).

6) Элементарные преобразования определителя.

Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число:

Рис.10 Операции над матрицами средствами MS Excel

Элементарные преобразования определителя (3го порядка)..

Минором некоторого элемента а_ij определителя n-ого порядка называется определитель n-1 —ого порядка, полученный из исходного, путем вычеркивания i – строки, j – столбца

Обозначается М_ij

Рис.11 Операции над матрицами средствами MS Excel

Минор элемента а_ij

Рис.12 Операции над матрицами средствами MS Excel

Минор элемента а₁₃

Алгебраическим дополнением элемента А_ijопределителя называется его минор (М_ij), взятый со знаком «+», если сумма i+j – четное число, «-» если i+j – нечетное число.

Продолжить чтение