В погоне за красотой. Приключения пятого постулата Евклида

Научно-популярная литература

© Вольдемар Смилга. Наследники, 2019

© ФГУП Издательство «Наука», серия «Научно-популярная литература» (разработка, оформление), 2018 (год основания), 2019

© ФГУП Издательство «Наука», редакционно-издательское оформление, 2019

Предисловие

Автор этой книги – Вольдемар Петрович Смилга (1929–2009), известный советский физик-теоретик. С 1963 года и до конца жизни работал в Москве, в Институте атомной энергии им. И.В. Курчатова. Главное его научное достижение – разработка метода μSR (от английского muon spin rotation).

Помимо научных статей и монографий В.П. Смилга написал три популярные книги, адресованные всем, кого интересует наука и её история.

Первая книга «Очевидное? Нет, ещё неизведанное!» рассказывает о теории относительности и её рождении. Последняя, «Молодые годы Николая Ивановича Лобачевского», опубликованная посмертно в издательстве «Добросвет», посвящена истории Казани, Казанского университета и юности Лобачевского (Николай Иванович учился в Казанском университете, а в 1827 году был назначен ректором этого университета). Вниманию читателя предлагается вторая книга «В погоне за красотой», которая посвящена многолетним попыткам доказать пятый постулат Евклида, приведшим в конечном итоге к созданию неевклидовой геометрии.

В течение двух тысячелетий, прошедших после выхода в свет «Начал» Евклида, математики пытались доказать пятый постулат (не пытаясь доказать четыре остальных). Формулировка, предложенная Евклидом, оказалась весьма сложной. Можно даже сказать уродливой:

Если сумма двух внутренних углов, образованных при пересечении двух прямых третьей, меньше суммы двух прямых углов, то две исходные прямые, будучи неограниченно продолжены, непременно пересекутся, причем пересечение произойдет с той стороны, где сумма внутренних углов меньше суммы двух прямых.

Эстетические чувства математиков были оскорблены. Они были убеждены, что основное положение, лежащее в основании геометрии, должно быть «самоочевидной истиной», не требующей сложных формулировок и рассуждений. А такой замысловатый и далеко не очевидный пятый постулат не может быть заложен в фундамент здания, а должен располагаться выше, на одном из его этажей. Должен быть теоремой! Стараясь восстановить испорченную уродливым пятым постулатом красоту геометрии, учёные, начиная от Прокла Диадоха и Омара Хайяма (который был не только гениальным поэтом, но и блестящим философом, астрономом и математиком) и до Лежандра, вновь и вновь пытались его доказать, однако их попытки не увенчались успехом.

Наконец, в XIX веке Гаусс, Лобачевский и Бойяи предположили, а Клейн затем показал, что такое доказательство невозможно построить в принципе. Пятый постулат (та его более прозрачная формулировка, которую изучают в школе) гласит:

Через точку на плоскости, лежащую вне данной прямой, всегда можно провести на этой плоскости одну и только одну прямую, которая не пересекается с данной при неограниченном продолжении.

Его можно принять как аксиому, и тогда мы приходим к евклидовой геометрии.

Но можно принять как аксиому и утверждение, что две прямые всегда пересекаются – это верно для геометрии на поверхности сферы, к примеру на поверхности Земли. Или сказать, что существует по крайней мере две различные прямые, не пересекающие данную, а это уже приводит нас к геометрии Лобачевского.

Замечательно, что впоследствии, спустя годы, оказалось, что всё это не только игра ума – в XX веке Эйнштейн установил, что геометрия мира, в котором мы живем, действительно неевклидова!

Когда мой отец писал книгу «В погоне за красотой», мне было лет 11. Геометрия меня интересовала, и я читал рукопись. И был несколько разочарован тем, что на многих страницах совсем не было математики, а рассказывались истории о математиках. Я пожаловался на это отцу (биографическая литература меня в то время не привлекала), но он не обратил внимания на мои слова. В результате эта книга была написана так, что её интересно читать не только людям с естественнонаучным складом ума, но и чистым гуманитариям, – при желании можно попросту пропустить все математические рассуждения (хотя, конечно, они составляют существенную часть книги) и сконцентрировать внимание на драматических историях жизни учёных – великих математиков, пытавшихся в течение многих столетий достичь ускользавшую от них красоту, а когда, наконец, это удалось, обретённая красота науки оказалась совсем не похожей на то, что они надеялись найти.

Книга «В погоне за красотой» была впервые опубликована в серии «Эврика» издательством «Молодая гвардия» в 1965 и переиздана в 1968 году. Эти советские издания давно стали библиографической редкостью. В 2006 году книга была переиздана в издательстве «Московские учебники». Мы предлагаем читателю новое издание. Я позволил себе исправить некоторые немногие фактические неточности и добавить примечания, отражающие современное состояние науки.

Андрей Смилга

Глава 1

До Евклида – доисторические времена

Истинное начало этой истории теряется во мгле времен апокрифических.

Где, как и когда начиналась геометрия… Где, как и когда обрела она законченную форму и заслужила право называться наукой… Кто был тот неведомый первый, предложивший аксиоматическое ее построение, мы не знаем и, вероятно, не узнаем.

Принято думать, что это сделали греки. Но, быть может, прославленные египетские жрецы, а может быть, и не менее прославленные халдейские маги и есть истинные отцы науки.

Как бы то ни было, геометрия в VII веке до н. э. приходит в Грецию.

И здесь греки, поклонники холодной логики и филигранного изящества чистого интеллекта, любовно оттачивают (или создают) одно из самых красивых и долговечных творений человеческой мысли – геометрию.

Насчет филигранного изящества – сказано красиво, но, по сути, конечно, всё было хитрей и сложней. Бесспорно, в первую очередь развитие геометрии диктовалось нуждами практики.

Какое-то влияние на развитие логики (а следовательно, и геометрии) оказало увлечение греков юриспруденцией и ораторским искусством. Но в Египте, например, практикам также геометрия была весьма и весьма необходима, а уж что касается бесконечных тяжб и судебных процессов – тут греки вообще не могут конкурировать со страной фараонов.

Короче, серьезный анализ всего вопроса – дело тяжелое, и мы удовлетворимся фактом.

А чтобы не нарушать более торжественность начала, вернемся к высокому стилю.

Геометрия возникает. И тогда-то начинается азартная и драматическая игра в чистую логику, продолжающаяся два с половиной тысячелетия.

И таким же примерно сроком датируется история пятого постулата, история драматическая, поучительная, детективная и с неожиданным, но счастливым концом.

После анонса можно вернуться к истокам – ко мгле времен.

Геометрию, полагаем мы, начинала Ионийская школа. Точнее, сам ее основатель – Фалес Милетский, проживший что-то около сотни лет (то ли 640–540 гг. до н. э., то ли 640–546 гг. до н. э.).

Толком мы мало что знаем о нем.

Знаем точно, что имел он «титул» одного из семи мудрецов Греции, знаем, что по официозному счету идет он как первый философ, первый математик, первый астроном и вообще первый по всем наукам в Греции. Короче: он был то же для греков, что Ломоносов для россиян.

В молодости, вероятно, по торговым делам (а карьеру начинал он как купец) попал он в Египет, где фараон Псам-метих только-только ликвидировал «железный занавес» и стал оформлять въездные визы для иностранцев.

В Египте Фалес застрял на много лет, изучая науки в Фивах и Мемфисе. Потом он вернулся домой и основал философскую школу, выступая, очевидно, не столько как самостоятельный мыслитель, сколько как популяризатор египетской мудрости.

Считается, что геометрию и астрономию привез он.

Во всяком случае, одному у него могут поучиться все философы – краткости. Полное собрание его сочинений (естественно, не дошедшее до нас), по преданию, составляло всего 200 стихов.

Что именно сделал он в геометрии, мы можем только гадать, хотя греческие авторы приписывали ему довольно много.

Например, Прокл Диадох (с этим именем мы еще встретимся) утверждает, что именно Фалес доказал теоремы:

а) вертикальные углы равны;

б) углы при основании равнобедренного треугольника равны;

в) диаметр делит круг пополам…

И еще ряд других.

Допустив даже, что все историки писали сущую истину, мы уж совсем не знаем: самостоятельно пришел Фалес к этим теоремам либо же просто пересказывал идеи египтян?

Предсказание солнечного затмения 585 года до н. э., по-видимому, единственный бесспорный факт из научной деятельности Фалеса Милетского.

Но легенд о нем ходило множество. А само это уже свидетельствует, что ученый он был крупный.

Один из апокрифов столь приятно ласкает самолюбие людей науки, что его невозможно не процитировать. Рассказывает Аристотель:

«Когда Фалеса попрекали его бедностью, так как-де занятия философией никакого барыша не приносят, то говорят, что Фалес, предвидя на основании астрономических данных богатый урожай олив, еще до истечения зимы роздал накопленную им небольшую сумму денег в задаток владельцам всех маслобоен в Милете и на Хиосе. Маслобойни он законтрактовал дешево, так как никто с ним не конкурировал. Когда наступило время сбора олив, начался внезапный спрос одновременно со стороны многих лиц на маслобойни. Фалес стал тогда отдавать на откуп маслобойни за ту цену, за какую желал.

Набрав таким образом много денег, Фалес доказал тем самым, что и философам разбогатеть нетрудно, только не это дело составляет предмет их интересов».

Что Фалес сделал с деньгами, полученными в результате столь удачного практического применения астрономии, истории неизвестно. Будем надеяться, что истратил их он как истинный философ.

Ученики его и последователи, по-видимому, уделяли геометрии существенное внимание в своих философских занятиях. Однако центральная математическая школа в VI–V веках до и. э. была пифагорейская.

Достоверные биографические сведения о Пифагоре в основном сводятся к нескольким анекдотам. В этом он очень походит на Фалеса Милетского. Неясности начинаются уже с вопроса о его происхождении.

Бертран Рассел, суммируя имеющиеся данные, заключает: «Некоторые говорят, что он был сыном состоятельного гражданина по имени Мнесарх, другие же считают, что он был сыном бога Аполлона. Я предоставляю читателю выбирать между двумя этими противоположными версиями».

Далее полагают, что жил Пифагор столь же основательно, как и Фалес, – примерно сто лет (предположительно 569–490 гг. до н. э.).

Опять же, как Фалес, он лет двадцать набирался мудрости в Египте, но потом (и здесь он превзошел Фалеса) еще лет десять жил в Вавилоне, где еще набирался мудрости.

Утверждают также, что он путешествовал по Индии, но никто этому не верит.

Наконец, в каждой второй брошюре о боксе можно прочитать, что Пифагор был олимпийским чемпионом по кулачному бою, хотя в первоисточнике столь любопытных данных никогда не указывается, и мне он по меньшей мере неизвестен. Впрочем, как и в случае с Фалесом, привлекательна неожиданность сочетания: философ и математик одновременно оказался боксером экстракласса.

Во всяком случае, если и не в бокс, то в политику Пифагор вмешивался весьма активно, хотя не очень удачно.

Граждане сицилийского города Кротона, где он основал по возвращении из дальних стран свою школу и попутно втравил весь город в тяжелую войну, в итоге попросили его убраться вместе со школой. Он это и сделал. И довольно поспешно, что было разумно и своевременно.

Математик и ученый он, очевидно, был очень сильный, тем не менее особых восторгов он не вызывает.

Его Пифагорейский орден философов и математиков слишком уж напоминает казарму, а сам Пифагор подозрительно смахивает на какого-то фюрера, хотя и несравненно более культурного, чем те, что имели успех в двадцатом столетии.

Именно сам Пифагор – очевидно, для пущего авторитета – распространял, популяризировал, холил и лелеял идею, что его любимый папа – светоносный и лучезарный Аполлон. Он же оказался истинным отцом популярного и ныне обычая – присваивать себе научные результаты своих учеников. Причем дело было поставлено вполне официально. Существовал некий декрет, по которому авторство всех математических работ школы приписывалось Пифагору.

Хотя можно повторить, что подобные вещи не такая уж редкость и в наши дни, всё же 25 столетий несколько смягчили и цивилизовали нравы. Суть осталась неизменной, но форма значительно облагородилась.

Впрочем, наш Пифагор вообще вне конкуренции на этой стезе, ибо он исхитрился устроить так, что верные ученики объявляли его автором работ, выполненных намного позже его кончины. Понятно, что при подобных нравах в пифагорейской школе наиболее безусловным и безоговорочным научным доводом считались ссылки на «самого».

Так и говорили на хорошем греческом языке – «сам сказал». После чего дискуссия была неуместна и несколько опасна.

«Он» же со своими милыми последователями засекречивал методы решения математических задач, а также составил для членов ордена подробный список табу, слегка напоминающий творчество сумасшедшего руководителя детского сада.

Опасаясь предстать голословным, я процитирую часть правил хорошего тона для джентльменов из Пифагорейского клуба.

«1. Воздерживайся от употребления в пищу бобов.

2. Не поднимай то, что упало.

3. Не прикасайся к белому петуху.

4. Не откусывай от целой булки.

5. Не ходи по большой дороге.

6. Вынимая горшок из огня, не оставляй следа его на золе, но помешай золу».

И далее… в том же духе.

И это-то сборище время от времени захватывало власть то в одном, то в другом греческом городе, устанавливая там культ Пифагора и соответственно требуя выполнения своего устава. Впрочем, как меланхолично замечает Бертран Рассел, «те, которые не были возрождены новой верой, жаждали бобов и рано или поздно восставали».

И, наконец, говорят, он читал проповеди скотам, поскольку мало различал их и людей.

Но как геометрию, так и вообще математику пифагорейская школа весьма и весьма продвинула вперед. Всё это вместе взятое – неплохая иллюстрация опасности идеализации представителей точных наук и интеллекта.

Впрочем, это нам Пифагор представляется в основном математиком.

Он же сам, как и его современники, полагал, что истинная его профессия – пророк.

Им, пожалуй, было видней, а, как известно, каждый пророк обязан отчасти быть фокусником, отчасти демагогом, отчасти шарлатаном.

Всем этим Пифагор, видимо, владел в полном ассортименте. А ученики старались по мере сил. Рассказывали, что у него было золотое бедро; рассказывали, что достойные доверия люди видели его одновременно в двух разных местах; рассказывали также, что когда он однажды переходил вброд реку, последняя от восторга вышла из берегов, с радостью восклицая: «Да здравствует Пифагор!»

На мой взгляд, речной бог выбрал не лучший способ прославления, ибо в первую очередь Пифагор должен был изрядно вымокнуть, но так рассказывали ученики.

Правда, среди греков было достаточное количество разумных людей.

Много бродивший по свету, довольно реалистичный, свободомыслящий и порядком ехидный философ и писатель Ксенофан писал о Пифагоре в несколько другом стиле. Одна из его эпиграмм такова.

Однажды, когда Пифагор увидел, как бьют собаку, он закричал: «Перестань, я по ее голосу узнал душу моего друга!»

Учение о переселении душ – один из основных элементов всей концепции Пифагора, и Ксенофан, как видите, не без яда прошелся по этому поводу.

Гераклит же определил Пифагора совсем сурово – «многознание без разума».

Расстанемся с Пифагором, процитировав на прощание забавнейшее место из его жизнеописания, составленного почтительным поклонником.

Вот, оказывается, какими извилистыми путями распространяется иногда наука.

Естественно, геометрия, как и остальные науки, тщательно скрывалась пифагорейцами от прочего народа. И кто знает, может быть, до наших дней геометрия осталась бы неизвестной всему человечеству (кроме пифагорейцев), если бы… Обратимся к легенде.

Вот как пифагорейцы объясняют, почему геометрия стала открыто распространяться. Это произошло по вине одного из них, который потерял деньги общины. После этого несчастья община позволила зарабатывать ему деньги, преподавая геометрию, и геометрия получила название «предание Пифагора».

Любопытно то, что, судя по всему, существовал учебник геометрии с таким названием.

Что же касается самой истории, то, если в ней есть зерно истины, я, хотя и не считаю себя злорадным человеком, был бы счастлив узнать, что растяпа пифагореец отнюдь не потерял деньги, а успешно прокутил их в ближайшем портовом кабачке, потягивая вино, наслаждаясь похлебкой из белого петуха с бобовой приправой, с удовольствием кусая от целой булки и распевая затем негармоничные песни на большой дороге.

Великие заслуги перед геометрией имеет еще один малоприятный на мой вкус человек.

Это Платон (428–348 гг. до н. э.).

Надо сказать, что и по своим взглядам, и по методам организации школы, и по любви к саморекламе Платон очень напоминает Пифагора. Но прежде чем объяснить свою нелюбовь к нему, я хочу сказать, в чем действительно заключался его существеннейший вклад в геометрию.

Он считается, и, возможно, справедливо, – я не специалист – одним из величайших философов Греции. Он действительно очень много сделал для развития математики и весьма ценил ее. На входе в его академию был даже высечен весьма категорический лозунг: «Да не войдет сюда тот, кто не знает геометрии!» Дело в том, что Платон полагал: «Изучение математики приближает к бессмертным богам», – и воспитывал в этом духе своих учеников, приплетая математику к месту и не к месту. Некоторые из них выросли в блестящих геометров. Учеников у Платона было множество, и они, естественно, распространили множество рассказов, восхвалявших учителя.

По-видимому, Платон первым четко потребовал: математика вообще, и геометрия в частности, должна быть построена дедуктивным образом. Иначе говоря, все утверждения (теоремы) должны строго логически выводиться из небольшого числа основных положений – аксиом.

Такая постановка – крупнейший шаг вперед.

Ко времени Платона геометрия уже была очень развита.

Было решено много весьма и весьма сложных задач, доказаны сложнейшие теоремы. Но ясной позиции в смысле общей схемы построения как будто не было. Как это часто бывает в науке, развитие геометрии очень стимулировалось тремя задачами, решение которых никак не удавалось отыскать.

Поскольку мы уж несколько углубились в историю, я приведу эти задачи.

Требовалось: при помощи циркуля и линейки, не привлекая никаких других геометрических инструментов…

1. Разделить данный угол на три равные части (трисекция угла).

2. Построить квадрат с площадью, равной площади данного круга (квадратура круга).

3. Построить куб с объемом, в два раза большим объема данного куба («Дельфийская задача»).

Только на исходе XIX века было доказано, что в такой постановке ни одна из задач не может быть решена, хотя все три задачи легко решаются, если использовать другие геометрические инструменты. Или, иначе, использовать при построении геометрические места точек, отличные от прямой, либо дуги окружности.

Однако правила игры у греков не позволяли при решении пользоваться чем-либо еще, кроме циркуля и линейки.

Платон даже обосновал это требование некоей ссылкой на авторитет богов.

Потому ни одна из проблем решена не была, но попутно, по ходу дела геометрия была весьма разработана. Я с великим сожалением опускаю все анекдоты, связанные с этими задачами. Историй много, и они прелестны, но нельзя слишком отвлекаться.

Вспомним лишь одно из преданий, чтобы продемонстрировать объективность в отношении Платона. В одном из вариантов этой истории он выступает довольно разумным человеком.

Однажды, рассказывает Эратосфен, на острове Делосе вспыхнула эпидемия чумы. Жители острова, естественно, обратились к Дельфийскому оракулу, который повелел удвоить объем золотого кубического жертвенника Аполлону, не изменяя его формы. За советом обратились тогда к Платону.

Платон задачи не решил, но зато истолковал оракула в том смысле, что боги гневаются на греков за нескончаемые междоусобные войны и желают, чтобы они, греки, вместо кровавых побоищ занимались бы науками и особенно геометрией.

Тогда чума исчезнет.

Но предания преданиями, а как философ и человек Платон крайне несимпатичен. Дело даже не в том, что он был защитник самого отчаянного идеализма и по всякому поводу апеллировал к богам.

Но он еще создал некую теорию государства, взяв за образец имевшуюся под боком вполне фашистскую страну – Спарту. И основные положения его утопии вполне удовлетворяют требованиям нацистов.

Всю свою жизнь он яростно боролся против демократии в политической жизни и против материализма в духовной.

Философов-материалистов он не только абстрактно поносил в своих философских сочинениях, но, демонстрируя неплохую практическую хватку, нередко успешно использовал в научных спорах проверенный веками жанр политического доноса.

Кроме того, он, как рассказывают, скупал сочинения своего самого ярого врага Демокрита, с тем чтобы уничтожить их.

О Демокрите необходимо сказать особо.

Если считать, что истоки нашей современной физики надо искать у греков (а вероятно, так оно и есть), то годов набирается довольно основательно – без малого два тысячелетия. От Аристотеля до Ньютона. Четыре первичные стихии Аристотеля: воздух, вода, земля и огонь – одна из первых попыток определить понятие «элементарные частицы» в физике.

Правда, у греков физика еще не физика в четком смысле слова.

В основе не эксперимент, а умозрительные рассуждения, но сейчас это не очень существенно для нас.

И пожалуй, почти полное отсутствие эксперимента оттеняет совершенно поразительную догадку лукавого философа Демокрита из Абдеры.

Примерно за полстолетия до Аристотеля он предположил, что все вещества состоят из мельчайших неделимых частиц – атомов, и различные их свойства определяются различным качеством этих самых атомов.

В данном же веществе все атомы тождественны и лишены индивидуальности.

Эти воззрения по духу своему столь близки к современным, что один из основателей квантовой механики, Эрвин Шредингер, в своих лекциях с удовольствием поражал слушателей изящным парадоксом: «Первым квантовым физиком был не Макс Планк, а Демокрит из Абдеры».

Сам Демокрит, вероятно, был бы изумлен более всех, услышав столь лестную характеристику, но, впрочем, надо согласиться, что и Шредингер имеет некоторые права рассуждать о квантовой теории.

Судьба воззрений Демокрита замечательна еще по меньшей мере двумя фактами. Во-первых, ни одной его работы не дошло до нас. То ли действительно преуспел Платон со своими милыми методами научной дискуссии, то ли просто растерялись его книги в веках, но, к сожалению, об идеях одного из первых материалистов мира мы можем судить лишь по отрывкам и по позднейшим пересказам.

Во-вторых (а популяризаторы науки, безусловно, не могут забыть об этом), первый известный нам научно-популярный трактат посвящен пропаганде его идей.

Мало того, в этой книге установлен непревзойденный до сих пор мировой рекорд, ибо это длиннейшая поэма. Я разумею, конечно, поэму «О природе вещей» Тита Лукреция Кара, написанную лет через триста с лишним после смерти Демокрита, две тысячи лет тому назад.

Впрочем, Демокриту еще сравнительно повезло, ибо следы многих других ученых (особенно материалистов) вообще напрочь затеряны. Например, до сих пор есть некоторые сомнения: существовал ли учитель Демокрита Левкипп? А уж в какой мере Левкипп соавтор (или автор) идей атомизма – совершенная загадка.

А по некоей версии оказывается, что свое учение Демокрит заимствовал у неких халдейских магов, подаренных с барского плеча его отцу персидским царем Ксерксом.

И если позволены философские моралите, стоит заметить, что в науке всегда идеи несравненно долговечней, чем память об их авторах. Впрочем, подавляющее большинство учёных любого профиля в состоянии усвоить всё, что угодно, кроме этой не слишком уж неожиданной мысли.

Однако кто бы ни был основателем атомистического течения – следует ли истоки квантовой механики искать у Демокрита или же у халдеев, – взгляды этой школы были примерно таковы.

Мир состоит из атомов и пустоты. Атомы едины и неделимы. Они просты и качественно неизменны. Атомы не поддаются никаким воздействиям, не возникают и не уничтожаются. Между атомами существуют первоначальные отличия, которые и определяют различные свойства всех вещей.

То, что мы сегодня понимаем под элементарными частицами, – объекты, мало похожие по своим свойствам на атомы Демокрита.

Они возникают и гибнут, они превращаются одна в другую, на них легко воздействовать – короче, надо признать, что в понятии элементарной частицы греки были несравненно логичней, чем физики XX века.

Есть авторитетное свидетельство самого Архимеда, позволяющее думать, что Демокрит был великолепным геометром. Как будто именно он вычислил объем конуса и пирамиды. Это блестящий результат, но подробности, увы, почти неизвестны. Тем не менее среди предтеч интегрального исчисления первым, видимо, надо считать Демокрита.

Дело еще в том, что едва ли не основной наш источник – книга Прокла Диадоха. А поскольку Прокл был последователь Платона, всех его научных противников он либо вообще не упоминает, либо очень скупо цедит отрывочные сведения.

Естественно, Демокрит, как враг № 1, был изгнан из истории в первую очередь.

Точно так же мы почти ничего не узнали о геометрических работах замечательного философа, одного из первых материалистов, Анаксагора. Известно лишь, что в темнице, где ему пришлось-таки сидеть за свои взгляды, он исследовал проблему квадратуры круга. А философские идеи его стоит помянуть добрым словом.

Впрочем, лучше всех это сделает Платон. В одном из его сочинений в диалоге жителя Афин (рупор самого Платона) и спартанца так расправляется он с Анаксагором.

Афинянин: «Когда мы, стремясь получить доказательства существования богов, ссылаемся на Солнце, Луну, звезды и Землю как на божественные существа, то ученики этих новых мудрецов возражают нам, что всё это ведь только земля и камни и они (то есть камни. – Прим. В. С.) совершенно не в состоянии заботиться о людских делах».

Как видите, Анаксагор и его ученики просто порождение мрачного Тартара.

Спартанец молниеносно распознает ересь и возмущенно восклицает: «Какой же вред для семьи и государства проистекает от таких настроений у молодежи!»

Вот так и дискутировал Платон.

Я бы очень хотел, чтобы открылось, что его заслуги в развитии геометрии сильно раздуты.

Но на сей день надо признать: школа его дала ряд блестящих математиков, а первое упоминание об аксиоматическом методе мы находим у него.

В общем уже в IV–III веках до н. э. геометрия – вполне оформившаяся наука.

Есть традиции, есть детально разработанные методы решения задач, есть крупные достижения, есть уже несколько учебников, есть научные школы.

Рассказать здесь обо всех геометрах доевклидового периода и об их работах, естественно, невозможно.

Для солидности я приведу список крупнейших математиков доевклидовых времен с единственной целью – продемонстрировать, сколь внушителен этот реестр.

Фалес Милетский, Анаксимандр, Америст, Мандри-ат, Эонипид, Анаксимен, Демокрит, Анаксагор, Пифагор, Гиппий, Архит, Гиппократ Хиосский (не путать с врачом), Антифон, Платон, Теэтет, Евдокс Книдский (оба последних – крупнейшие фигуры. Особенно Евдокс (400–337 гг. до н. э.) – по совместительству еще астроном, врач, оратор, философ, географ).

Менехм, Леодат, Дейнострат, Аристай, Евдем, Теофраст, Леон, Тевдий… и еще десятка два имен.

А также Аристотель.

Аристотель, бесспорно, один из величайших ученых в истории человечества.

Правда, в итоге вред, принесенный его трудами, чуть ли не перевешивает пользу. Сам Аристотель тут ни при чем, но в средние века, выхолощенные, очищенные от всего, что могло пробуждать научную мысль, работы его были, пожалуй, основным оружием реакции.

Но оценка его трудов – история особая. Единственно, что нужно здесь сказать, – геометрией он интересовался очень. Причем особое внимание уделял теории параллельных.

Более того, в этой области ему принадлежат два весьма важных утверждения. Правда, в его работах, дошедших до нас, их нет, но зато все последующие математики в один голос приписывают эти утверждения Аристотелю.

Забегая вперед, заметим, что самые остроумные доказательства пятого постулата Евклида основаны как раз на «принципе» Аристотеля. Что именно говорил Аристотель о свойствах параллельных, мы скажем позже.

А сейчас…

Глава 2

Евклид

Забудем о предтечах и начнем счет с Евклида.

Жил и работал он во время весьма любопытное.

В 323 году до и. э. то ли вследствие острой лихорадки, в результате ли неумеренного пьянства или просто от доброй порции яда отправился на свидание к отцу своему Зевсу царь царей земных, изрядно уже потрепанный, хотя сравнительно молодой, тридцатитрехлетний мужчина – Александр Македонский.

Полубога не успели даже подобающим образом проводить, как перешли к очередным делам.

Надо было делить империю. А она была невероятна. Всего лишь за десять лет были завоеваны страны, в сотни раз превосходящие маленькую полунищую Македонию.

Как и почему могло всё случиться, нас сейчас не очень волнует. Причин на то было много. Одна из них, как известно, та, что Александр Македонский был герой.

Так или иначе, но мир за десять лет стал другим. Видимые границы его расширились в четыре раза, а теперь предстояло переварить то, что было проглочено. Было ясно, что для одного – наследство непомерно. И отдавать всё малолетнему сыну Александра, появившемуся на свет через несколько месяцев после смерти папы, или же второму наследнику – слабоумному сводному брату Александра, – было просто смешно. Посему империю согласно растащили те любимые полководцы, которых Александр не успел казнить.

Они заключили вечный мир, поклялись в столь же вечной дружбе, порядком выпили на радостях, обменялись суровыми мужскими пожатиями на прощание, после чего, естественно, началась резня и междоусобица.

Время было веселое. Цари возникали как грибы после дождя и столь же быстро ликвидировались. Ни в чем (кроме происхождения) не повинных законных наследников придушили либо прирезали уже к началу второго десятилетия. А изводить людей в династических войнах продолжали с удвоенной энергией еще несколько десятков лет.

Так и начиналась интереснейшая эпоха эллинизма.

Во всей этой сваре более других повезло осмотрительному Птолемею, который при дележке отхватил себе Египет.

Он довольно успешно вмешивался в склоки диадохов (наследников), более или менее разумно попридерживал в родном уделе – Египте – своих отчаянных македонцев, мечами которых и держался. Не возражал против столь дорогого для местной элиты поклонения черным котам и крокодилам и сам стал богом в соответствии со служебным положением (как-никак фараон). Страну грабил, конечно, и грабил основательно. Но тут уж египтян удивить было трудно. Поощрял торговлю, немножко казнил недовольных, всячески холил бюрократический аппарат… и прижился-та-ки на берегах Нила, в городе, оригинально названном Александром, – Александрия.

Наследники его постепенно ассимилировались, а династия оказалась не только самой прочной и долговечной, но и прославилась еще тем, что, подарив миру Клеопатру, обеспечила сюжетом литературу на две тысячи лет.

И самый первый Птолемей I Сотер и все последующие Птолемеи славны тем, что были они покровители наук. Трудно сейчас сообразить, каковы были их мотивы, почему это вдруг науки так привлекли Птолемеев.

Может быть, это было некое интеллектуальное кокетство; возможно, пригревая математиков и философов, Птолемей I подражал Александру – как-никак Александр был ученик Аристотеля и ученых ценил (правда, в весьма своеобразных формах). Можно, наконец, допустить, что имелись в виду некие практические использования мудрецов. Впрочем, эта версия довольно сомнительна.

Оставив все психологические изыскания в стороне, отметим факты.

Александрия в Ш-П веке до н. э. превратилась в основной научный центр эллинистического мира. И наиглавнейшим научным институтом был знаменитый Александрийский музей со знаменитейшей Александрийской библиотекой. К несчастью, ее разоряли много раз, и в итоге все 70 тысяч свитков были сожжены в VII веке неким свирепым арабским халифом.

Впрочем, халифу, кажется, зря «шьют» это дело. Первым приложил руку великий Цезарь. Гай Юлий Цезарь – по совместительству неплохой прозаик, но главным образом полководец, политический демагог и отчаянный честолюбец.

Далее имеются весьма веские данные, позволяющие думать, что в основном тут потрудилась ранняя (и уж тогда весьма веротерпимая) христианская церковь, опередившая простоватого халифа лет на двести с лишним. Халифу же осталось лишь подчищать остатки. Так или иначе, но самое благое дело Птолемеев ждала неудачная судьба.

Всё-таки если уж и вспоминать Птолемеев добрым словом, то за их покровительство науке.

На счету истории человечества много царств. И еще больше царей. Возможно, историки проследят связь деяний того или иного сатрапа с последующей историей. Но непосредственно в живой памяти людей остается ничтожный процент из всего этого венценосного полчища. И то надо сказать, что редко память бывает хорошей.

В смысле приметливости больше всего удача улыбается головорезам и авантюристам типа Тамерлана либо Наполеона.

Однако прямая их роль в нашей сегодняшней жизни практически близка к нулю.

И поскольку я уж несколько завяз в лирических вариациях на древние-древние мотивы о бренности земных царств и всей славы их, я попытаюсь достойно закончить их довольно поучительной притчей.

За несколько десятков лет до вторжения испанцев в Мексику некий ацтекский вождь с абсолютно неудобопроизносимым для русского языка именем (обозначим его «X») объединил все племена в царство и в какой-то степени ликвидировал феодальную раздробленность. Естественно, предполагалось, что царство его и династия его будут благоденствовать долгие века. И сам «X» правил долго и счастливо.

Вскоре по Мексике прошли гангстеры Кортеса, и от ацтекской империи остались сейчас лишь затопленные джунглями развалины блестящих некогда городов. Но это лишь половина истории.

У царя (точнее, касика – сохраним колорит) «X», понятное дело, имелся гарем – «X» любил (и весьма) женщин.

Человек он был действительно незаурядный. Был он блестящий лирический поэт и, естественно, помимо своей непосредственной деятельности писал стихи для своих многочисленных жен. И песни его можно услышать в деревнях Мексики и в наши дни. И можно еще раз порадоваться, что истинные произведения искусства всегда оказываются долговечнее империй.

Стоило бы, пожалуй, всё же вспомнить имя поэта. Но, увы, я помню лишь, что оно очень сложно.

Итак, Птолемей I Сотер пригласил в Александрию Евклида. И там написал Евклид «Начала» – книгу для истории человечества, бесспорно, уникальную.

Снова должен я начать с традиционного уже признания. О самом Евклиде практически ничего не известно. Впрочем, пара апокрифов, конечно, имеется.

Рассказывают, что Птолемей поначалу сам захотел одолеть премудрости геометрии. Но довольно скоро обнаружил, что изучение математики – слишком тяжкое бремя для него, фараона. Тогда он призвал Евклида и попросил его, полагаю, как джентльмен джентльмена: «Нельзя ли постигнуть все тайны науки как-нибудь попроще?» На что Евклид гордо и невежливо ответил: «В геометрии нет царского пути». Остается неведомым, продолжал ли Птолемей занятия геометрией. Вероятней всего, он утешился в занятиях, более приличествующих царям (приемы, охота, пьянки и гарем).

Вторая история такова.

На этот раз изучать геометрию к Евклиду явился какой-то молодой прагматист. И первое, что спросил он: «Какова будет практическая польза от штудирования “Начал”?» Тогда Евклид, весьма и весьма задетый, призвал раба и сказал: «Дай ему грош, он ищет выгоды, а не знаний».

Надо, впрочем, сознаться, что обе истории столь традиционно характерны, учитывая представления греков о мудрецах и о математике, что особо доверять им не приходится.

Если первая новелла чрезвычайно симпатична и для людей нашего века, то вторая по меньшей мере стимулирует активные возражения. Но приходится учитывать, что греки мыслили… впрочем, я не берусь сказать, как именно мыслили греки. Боюсь, одни считали так, а другие этак. Мы знаем (точнее, думаем, что знаем), что они презирали всякое практическое применение математики, и вроде бы действительно в трудах философов тех веков (особенно у последователей Платона) находим этому подтверждения. И неоднократные. Всё это так. Всё это верно. Но самый гениальный математик древности – Архимед – был физик, причем экспериментатор, а не теоретик. Мало того. Он был еще и пер-вокласснейший военный инженер, потративший много лет и массу труда на создание из своего родного города – Сиракуз – практически неприступной крепости.

Конечно, Плутарх, как бы считая необходимым оправдать Архимеда, стыдливо объясняет, что всё это были, дескать, забавы – интеллектуальные игрушки для философа. Но не надо особой проницательности, чтобы сообразить: забавляясь, не спланируешь укрепленный район, снабженный притом оружием твоего же изобретения, – район, повторяю, абсолютно неприступный по тем временам. Кстати, позволю себе отвлечься, чтобы заметить: пример Архимеда прелестно показывает, что и в те далекие наивные времена физика и иные науки играли в войне едва ли меньшую роль, чем сейчас.

Ну, а каково же было истинное отношение в эллинистическом мире к практическому использованию математики, не слишком ясно.

Вообще иногда возникает невольное раздражение, когда встречаешь излишне категоричные суждения о той далекой эпохе. Слишком мало мы знаем, слишком обрывочны и случайны данные, чтобы уверенно судить о психике, нравах и обычаях людей тех времен. Впрочем, здесь я вступаю на очень скользкую дорожку и начинаю рассуждать о вещах, не очень мне знакомых. Но прежде чем мы вернемся к геометрии и Евклиду, я позволю себе лишь одно замечание, ибо самое соблазнительное – дилетантские разглагольствования.

При оценке древних очень часто конкурируют две крайние тенденции. Либо греки (эллинистический мир, в частности) предельно идеализируются, и сторонники этой версии горько сожалеют об упадке нравов за истекший период в 2500 лет и о невозвратно ушедших временах детства человечества, когда люди были чисты, наивны и бесхитростны. Эта линия почему-то весьма популярна у утонченной интеллигенции гуманитарного склада.

Сторонники другого творческого направления, грубо говоря, полагают, что достаточно научиться включать пылесос и телевизор, чтобы осознать свое полное моральное превосходство над представителями любой ранней цивилизации.

Так иногда рассуждают инженеры, военные и другие представители «точных» профессий (я надеюсь, мне простится, что физиков я не в силах был включить в список).

Как это и бывает обычно, защитники противоположных позиций, по существу, едины в полном нежелании сколько-нибудь серьезно разобраться в сути и целиком доверяют своим случайным субъективным впечатлениям.

Далее имеются сторонники «скептической школы», полагающие, что всегда, во все века люди были одинаковы и интеллект и моральные качества не успели измениться за какие-то жалкие 2,5 тысячи лет.

В общем-то для автора эта позиция наиболее приемлема, хотя по всему, что он – автор – читал, можно всё же полагать, что за эти самые 2,5 тысячи лет человечество медленно, но неизменно совершенствуется. Хотелось бы, конечно, чтобы движение это было несколько более активно, но это уже другой вопрос.

И, вероятно, давно уже пора объяснить утомленным читателям, почему в книге о геометрии автор с переменным успехом рассуждает о чем угодно, кроме самой геометрии.

Я это и сделаю, а потом мы всё же вернемся к Евклиду.

Итак, нечто аналогичное предисловию.

Действительно, далее будет говориться и о неевклидовой геометрии и об общей теории относительности, возникновение которой без особой натяжки можно рассматривать как логическое завершение всей истории с пятым постулатом.

Но мне кажется, самое интересное во всем этом не геометрия и не теория относительности.

В конце концов весь роман о пятом постулате столько же свидетельствует о силе человеческой мысли, сколько и об удивительной, почти анекдотической ограниченности математиков. Недаром, кстати, Макс Планк позволил себе, может быть, излишне категоричное, но верное в общем высказывание, что «по сравнению с теорией относительности создание неевклидовой геометрии – не более чем детская игра». Не будем, однако, раздавать медали. Главное – другое.

Самое важное, поучительное и, если хотите, трогательное, что та история, за которой мы попытаемся проследить, символична, как иллюстрация одного из лучших качеств, отличающих людей от прочих приматов и объединяющих все расы в единый вид. Как догадывается проницательный читатель, автор воспевает бескорыстное стремление разобраться: в каком мире, собственно, мы живем, как устроена наша вселенная? И объединяющий людей такого сорта интернационализм, интернационализм эпох, стран и национальностей, вечно противостоит столь же вечному братству мещанства, братству сатрапов, карьеристов, завоевателей, честолюбцев, стяжателей и худшей части футбольных болельщиков.

Если представить себе некую фантастическую картину, усадив в одной комнате за застольной беседой Евклида, Хайяма, Гаусса, Лобачевского и Эйнштейна, то маловероятно, что в какой-то момент Николай Иванович Лобачевский испытал бы необходимость искать общих знакомых или провозглашать за отсутствием тем разговора: «Ну, а теперь – анекдотики».

А с другой стороны, нужно с неохотой признать, что анекдоты времен Евклида (с легким изменением колорита, конечно) почти полностью исчерпывают духовный арсенал многих и многих наших современников.

Впрочем, идеализацией как науки, так и ее жрецов тоже не стоит излишне увлекаться. Можно найти сотни и сотни примеров блестящих ученых – совершенно аморальных людей.

И, может быть, самое привлекательное во всей нашей истории то, что как неевклидова геометрия логически завершается общей теорией относительности, так галерея математиков – как правило, не только замечательных по таланту, но и по-человечески интересных людей – замыкается Эйнштейном.

Но вернемся же к Евклиду!

Для начала следует добавить несколько крепких выражений в адрес всех скотов, истреблявших Александрийскую библиотеку. Останься она цела, мы знали бы о греческом и римском мире в десятки раз больше, чем сейчас.

Вероятно, мы бы знали и об Евклиде. Но, к сожалению, на сей день едва ли не самый основательный источник по Евклиду – Прокл Диадох Константинопольский – геометр, написавший детальнейший «Комментарий на первую книгу “Начал”». И раз уж мы всё время ссылаемся на источники, необходимо маленькое замечание.

Когда мы обращаемся к истории древнего мира, то невольно возникает тот же эффект, что при наблюдении горной цепи с самолета. Всё сглаживается, расстояния кажутся малыми, детали исчезают полностью. Видна лишь общая картина.

И невольно все греческие математики представляются почти современниками. Поэтому нелишне, вероятно, вспомнить, что Прокл (ок. 410–485 гг. н. э.) жил на семьсот лет позже Евклида. Временной интервал куда больше, чем разделяющий нас, скажем, с Иваном Васильевичем Грозным. Посему не так уж странно, что сведения о жизни Евклида у Прокла отрывочны и случайны.

Есть еще один автор, живший несколькими десятилетиями раньше Прокла, – александрийский математик Папп. Он пишет о Евклиде как о мягком, скромном и вместе с тем независимом человеке. История с Птолемеем приводится как одним, так и другим. «Точные» же биографические данные практически основываются на заметках неизвестного арабского математика XII века: «Евклид, сын Наукрата, сына Зенарха, известный под именем Геометра, ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира…»

Всё.

Человек бесследно растворился в веках. Осталась его работа.

«Начала» – повторимся – книга уникальная. Более двух тысяч лет она была главным и практически единственным руководством по геометрии для ученых как западного, так и восточного мира. Еще в конце XIX столетия во многих английских школах геометрию изучали по адаптированному изданию «Начал», и вряд ли можно найти более выразительное свидетельство популярности. В этом смысле конкурировать с «Началами геометрии» могут разве что Библия и Евангелие. Но в отличие от последних основа «Начал» – строгая и жесткая логика. Точнее – Евклид всё время стремится к таковой.